Veel studenten die geavanceerde wiskunde in geavanceerde cursussen bestuderen, hebben zich waarschijnlijk afgevraagd: waar worden differentiaalvergelijkingen (DE's) in de praktijk gebruikt? In de regel wordt dit probleem niet besproken tijdens hoorcolleges en leraren gaan onmiddellijk over tot de oplossing van de controletheorie zonder de studenten het gebruik van differentiaalvergelijkingen in het echte leven uit te leggen. We zullen proberen deze leemte op te vullen.
We beginnen met het definiëren van een differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking is dus een vergelijking die de waarde van een afgeleide functie relateert aan de functie zelf, de waarden van een onafhankelijke variabele en enkele getallen (parameters).
Het meest voorkomende gebied waarop differentiaalvergelijkingen worden toegepast, is de wiskundige beschrijving van natuurverschijnselen. Ze worden ook gebruikt bij het oplossen van problemen waarbij het onmogelijk is om een directe relatie te leggen tussen sommige waarden die een proces beschrijven. Dergelijke taken doen zich voor in de biologie, natuurkunde en economie.
In de biologie:
Het eerste substantiële wiskundige model dat biologische gemeenschappen beschrijft, was het Lotka-Volterra-model. Het beschrijft een populatie van twee op elkaar inwerkende soorten. De eerste, roofdieren genaamd, sterft volgens de wet x '= –ax (a> 0) in afwezigheid van de tweede, en de tweede, prooi, in afwezigheid van roofdieren vermenigvuldigt zich onbeperkt in overeenstemming met de Malthus-wet. De interactie tussen deze twee soorten is als volgt gemodelleerd. Slachtoffers sterven uit met een snelheid die gelijk is aan het aantal ontmoetingen van roofdieren en slachtoffers, waarvan in dit model wordt aangenomen dat ze evenredig zijn met het aantal van beide populaties, d.w.z. gelijk aan dxy (d> 0). Daarom is y '= door - dxy. Roofdieren planten zich voort met een snelheid die evenredig is met het aantal gegeten prooien: x '= –ax + cxy (c> 0). Systeem van vergelijkingen
x '= –ax + cxy, (1)
y '= door - dxy, (2)
Een roofdier dat zo'n populatie beschrijft, is een prooi en wordt het Trays-Volterra-systeem (of model) genoemd.
In de natuurkunde:
De tweede wet van Newton kan worden geschreven in de vorm van een differentiaalvergelijking
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), waar m de massa van het lichaam is, x de coördinaat is, F (x, t) de kracht die op het lichaam inwerkt met de coördinaat x op tijdstip t. Zijn oplossing is de baan van het lichaam onder invloed van de aangegeven kracht.
